Matematika

Pogoji za vključitev v delo oz. za opravljanje študijskih obveznosti
Za uspešno vključitev v delo pri predmetu se pričakuje aktivna pripravljenost za učenje, odgovornost do lastnega študijskega procesa ter pripravljenost na redno delo. Predznanje iz srednješolske matematike (osnovne algebraične in analitične vsebine) je zaželeno, vendar predmet vključuje tudi sistematično utrjevanje ključnih konceptov. Ključni pogoj za uspeh ni popolnost predznanja, temveč kontinuiteta dela, razumevanje in aktivno sodelovanje. Študenti lahko predmet uspešno opravijo na dva načina: z rednim sodelovanjem pri organiziranem učnem procesu (predavanja, sprotno delo, seminarska naloga), ali z večjim samostojnim angažmajem, pri katerem prevzamejo odgovornost za načrtovanje učenja in pravočasno izpolnjevanje vseh obveznosti. Obvezna je udeležba na uvodnem predavanju, kjer so podrobno predstavljeni cilji predmeta, načini dela, kriteriji ocenjevanja ter možnosti prilagojenih oblik sodelovanja (npr. v primeru posebnih okoliščin). Uvodno predavanje predstavlja osnovo za vzpostavitev učinkovitega sodelovanja med študentom in izvajalcem predmeta. V primeru odsotnosti z uvodnega predavanja je študent dolžan samostojno in pravočasno vzpostaviti stik z izvajalcem ter se seznaniti z vsemi obveznostmi in načinom dela. Aktivno upravljanje lastnega študijskega procesa je sestavni del kompetenc, ki jih predmet razvija. Pri predmetu se spodbuja uporaba sodobnih učnih orodij (npr. digitalna orodja, programska oprema, umetna inteligenca), vendar mora študent zagotoviti samostojno razumevanje in kritično uporabo pridobljenega znanja.

Vsebina 1. Matematika kot jezik za opisovanje realnosti
Množice, relacije, preslikave. Matematična formalizacija podatkov in struktur.
2. Matematika kot jezik formalizacije odnosov
Logika, števila, funkcije. Osnove matematičnega sklepanja in modeliranja odvisnosti.
3. Matematika kot jezik formalizacije procesov
Vektorji in matrike kot nosilci podatkov in transformacij (uvod v podatkovne strukture in linearne modele).
4. Linearna algebra in sistemi enačb
Matrični račun, Evklidski prostori, linearna odvisnost, rang matrike. Sistemi linearnih enačb in Gaussov algoritem. (povezava: vhodno-izhodni modeli, preprosti ekonomski sistemi)
5. Optimizacija in linearno programiranje
Formulacija problema, grafično reševanje, interpretacija rešitev. (povezava: alokacija virov, stroški, dobiček, odločanje)
6. Zaporedja, vrste in finančna matematika
Zaporedja, limita zaporedja, vrste. Obrestno-obrestni račun. (povezava: časovna vrednost denarja, investicije)
7. Funkcije in zveznost
Lastnosti funkcij, zveznost, pregled elementarnih funkcij. (povezava: ekonomske funkcije – stroški, prihodki, povpraševanje)
8. Odvod in diferencial v analizi sprememb
Odvod kot mera spremembe. Ekstremi in optimizacija funkcij. Analiza funkcije. (povezava: marginalne veličine, optimizacija odločitev)
9. Integral in agregacija
Nedoločeni in določeni integral, zveza med njima. Ploščine, povprečne vrednosti, nepravi integral. (povezava: akumulacija, agregati, povprečja v ekonomiji)
10. Osnove podatkovnega razmišljanja in algoritmov:
Interpretacija matematičnih modelov v kontekstu umetne inteligence in odločanja
11. Matematika v praksi: modeli, podatki in predstavitve
Predstavitev seminarskih nalog. Uporaba matematičnih modelov, digitalnih orodij in interpretacija rezultatov v poslovnem kontekstu.
Cilji in kompetence
1. Utrditi in nadgraditi znanje srednješolske matematike z vidika razumevanja in uporabe matematičnih konceptov pri modeliranju poslovnih procesov, finančnih instrumentov ter drugih pojavov v ekonomiji. 2. Razviti logično, analitično in kvantitativno razmišljanje ter sposobnost strukturiranega sklepanja v abstraktnem matematičnem prostoru in pri reševanju realnih problemov. 3. Povezati matematično znanje z uporabo sodobnih digitalnih orodij in okolij (npr. Excel, R, WolframAlpha, odprtokodna analitična okolja, orodja umetne inteligence - LLM) ter razviti sposobnost njihove smiselne, kritične in učinkovite uporabe pri matematičnem modeliranju. 4. Razviti sposobnost prevajanja preprostejših strokovnih in poslovnih problemov v matematični jezik (algebraični, analitični, numerični modeli), njihovega reševanja ter strokovne interpretacije rezultatov. 5. Spodbujati samostojno raziskovanje, reševanje problemov in kontinuirano učenje skozi seminarsko delo ter samostojne vaje (seminarje), ki so vsebinsko povezane s predavanji in omogočajo poglobljeno razumevanje obravnavanih konceptov. 6. Izdelati seminarsko nalogo, ki celostno izkazuje razumevanje matematičnih konceptov, sposobnost njihove uporabe v ekonomskem kontekstu ter uporabo ustreznih analitičnih orodij.

Predvideni študijski rezultati
Študent po uspešno opravljenem predmetu razvije naslednje kompetence: a. Matematične in analitične kompetence Razumevanje temeljnih algebraičnih in analitičnih konceptov (vektorji, matrike, funkcije, limite, odvodi, integrali) ter njihove medsebojne povezanosti. Sposobnost abstraktnega razmišljanja, formalizacije problemov ter uporabe matematičnih metod pri reševanju kvantitativnih nalog. Razumevanje matematičnih modelov kot orodja za opisovanje ekonomskih in poslovnih pojavov. b. Modeliranje in reševanje problemov Sposobnost prevajanja realnih problemov v matematične modele (npr. optimizacija, linearno programiranje, analiza funkcij). Sposobnost izbire ustreznih matematičnih metod ter interpretacije rezultatov v poslovnem kontekstu. Razvoj sistematičnega in strukturiranega pristopa k reševanju problemov. c. Digitalne in tehnološke kompetence Uporaba orodij za preglednice (npr. Excel ali podobno) za organizacijo podatkov in osnovno modeliranje. Uporaba statističnih in analitičnih okolij (npr. R ali podobno) za osnovne simulacije, optimizacijske naloge in analizo podatkov. Uporaba orodij za simbolično in numerično računanje (npr. WolframAlpha in sorodna okolja). Smiselna in kritična uporaba orodij umetne inteligence (LLM) pri učenju, analizi problemov in interpretaciji rezultatov. d. Informacijska in raziskovalna pismenost Sposobnost iskanja, izbire in kritične uporabe spletnih, digitalnih in knjižnih virov za poglabljanje matematičnega in aplikativnega znanja. Razumevanje omejitev uporabljenih metod in orodij ter presoja zanesljivosti rezultatov. e. Komunikacijske in aplikativne kompetence Jasna predstavitev matematičnih postopkov in rezultatov v pisni in ustni obliki (seminarske naloge, predstavitve). Sposobnost povezovanja matematičnih rezultatov s poslovnimi interpretacijami in odločitvami. Razvoj samostojnosti, odgovornosti in refleksije pri učenju ter reševanju problemov.

Metode poučevanja in učenja
Oblike dela

• Kombinacija frontalnega poučevanja in interaktivnega dela z vključevanjem študentov
• Študentski seminarji in predstavitve matematičnih modelov
• Vodene in samostojne vaje, vsebinsko povezane s predavanji
• Samostojno in individualno delo študentov (reševanje problemov, projektno delo)
• Delo v manjših skupinah (razprava, reševanje kompleksnejših nalog)
• Digitalno podprto učenje (uporaba programskih orodij, spletnih virov in umetne inteligence)

Metode (načini) dela

• Razlaga in konceptualna interpretacija matematičnih vsebin
• Razgovor, vodena diskusija in argumentacija rešitev
• Študija primerov (povezava matematičnih konceptov z ekonomskimi in poslovnimi problemi)
• Problemsko učenje (problem-based learning) in raziskovalno učenje
• Reševanje nalog (od osnovnih do aplikativnih in odprtih problemov)
• Projektno in seminarsko delo (razvoj matematičnih modelov)
• Uporaba digitalnih orodij (npr. Excel, R, WolframAlpha, LLM) pri analizi in modeliranju
• Branje, analiza in pisanje strokovnih besedil z uporabo matematičnega jezika
• Sprotno preverjanje razumevanja in refleksija lastnega učenja

Načini ocenjevanja

• Preverjanje znanja pri predmetu temelji na kombinaciji sprotnega dela, aplikativnega projektnega dela ter zaključnega preverjanja znanja.
• Končna ocena je sestavljena iz treh komponent:
• pisni izpit: 50 % (50 točk)
• seminarska naloga: 25 % (25 točk)
• seminarji (tedenske samostojne vaje): 25 % (25 točk)
• a. Pisni izpit (50 %)
• Pisni izpit preverja razumevanje temeljnih matematičnih konceptov ter sposobnost njihove uporabe pri reševanju nalog.
• Izpit obsega praviloma 5 nalog. Za pozitivno oceno mora študent doseči vsaj 50 %.
• Izpitni roki so razpisani v skladu s študijskim koledarjem (praviloma v zimskem, poletnem in jesenskem izpitnem obdobju).
• b. Seminarska naloga (25 %)
• Seminarska naloga predstavlja samostojno aplikativno delo študenta, v katerem:
• identificira problem iz področja poslovnih ved,
• ga ustrezno matematično formalizira,
• uporabi primerna matematična in/ali digitalna orodja,
• rezultate interpretira v vsebinskem kontekstu.
• Pri ocenjevanju se upoštevajo: razumevanje problema, ustreznost modela, pravilnost postopkov, interpretacija rezultatov ter kakovost predstavitve.
• c. Seminarji - tedenske samostojne vaje (25 %)
• Študenti skozi semester opravljajo redne samostojne naloge (vaje), ki so neposredno povezane s predavanji.
• Namen seminarjev je:
• sprotno utrjevanje snovi,
• razvoj sposobnosti reševanja problemov,
• priprava na seminarsko nalogo in pisni izpit.
• Pri ocenjevanju se upoštevajo rednost oddaj, pravilnost rešitev, razumevanje postopkov ter napredek skozi semester.

Temeljni literatura in viri

• Starček, Simon. 2026. Matematika. Ljubljana, Fakulteta za pravo in ekonomijo.
• Starček, Simon. 2025. Matematična logika. Nekoč, danes in naprej. Ljubljana, Fakulteta za pravo in ekonomijo.
• Žerovnik, Janez. 2020. Matematika 1. Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo.